Modèle d’un différentiel mécanique

Cet article expose le modèle mathématique d’un différentiel mécanique (type voiture):

render

Expace de travail


Pour commencer, définissons notre espace de travail (axes et sens de rotations) :

Frame

Nomons chaque roue dentée. La roue libéllée i est composé de Z_i dents:

Differential

Renvoi d’angle

Isolons le renvoi d’angle:

Link_1

Il s’agit d’une transmission classique, la relation est donnée par:

 \omega_1.Z_1=\omega_2.Z_2

et

 \frac {\Gamma_1}{\Gamma_2} = \frac {Z_1} {Z_2}

Dans la suite, nous ne considéretons plus cette transmission.

Dans la cage

Nous allons maintenant travailler dans un référentiel attaché à la cage (Z_2) et analyser les roues dentées Z_3, Z_4, Z_5 et Z_6. Le terme \omega^c_i est la vitesse angulaire de la roue Z_i exprimée dans le référentiel attaché à la cage.
Link_4

D’après la convention précédente relative aux sens de rotation, les transmissions entre les roues Z_3, Z_4, Z_5 et Z_6 sont données par:

\begin{matrix}\omega^c_4.Z_4=\omega^c_3.Z_3 \\\omega^c_3.Z_3=-\omega^c_5.Z_5 \end{matrix}

Notons que la roue Z_6 est redondante par rapport à Z_3. La relation entre les roues Z_4 et Z_5 est donnée par:

 \omega^c_4.Z_4=-\omega^c_5.Z_5
 \frac{\omega^c_4}{\omega^c_5}=-\frac{Z_5}{Z_4}=-1

Comme Z_4=Z_5, la relation entre les vitesses angulaires est:

 \omega^c_4=-\omega^c_5

Référentiel global


Revenons dans le référentiel global. La vitesse de rotation de la cage est donnée par \omega_2. Dans le référentiel de la cage, la vitesse angulaire de la roue Z_4 est égal à \omega_4. La vitesse angulaire de la roue Z_4 dans le référentiel global est alors donné par:

 \omega_4=\omega_2+\omega^c_4

En raisonnant de façon similaire, nous pouvons aussi exprimé la vitesse angulaire de la roue Z_5 dans le référentiel global:

 \omega_5=\omega_2+\omega^c_5

Rassemblons les équation précédente au sein d’un même système:

 \left \{ \begin{array}{r c l}\omega_4 &=& \omega_2+\omega^c_4 \\\omega_5 &=& \omega_2+\omega^c_5 \\\omega^c_4 &=& -\omega^c_5\end{array} \right .
 \left \{ \begin{array}{r c l}\omega_4 &=& \omega_2-\omega^c_5 \\\omega_5 &=& \omega_2+\omega^c_5 \end{array} \right .
 \left \{ \begin{array}{r c l}\omega^c_5 &=& \omega_2-\omega_4 \\\omega_5 &=& \omega_2+\omega^c_5 \end{array} \right .

La résolution du système nous donne l’équation du modèle:

 \omega_2 = \frac{1}{2}(\omega_4+\omega_5)

Couple

La relation entre les roues dentées Z_3, Z_4 et Z_5 est donnée par:

 \begin{matrix}\frac{\Gamma_4}{\Gamma_3}=\frac{Z_4}{Z_3} \\\frac{\Gamma_5}{\Gamma_3}=\frac{Z_5}{Z_3}\end{matrix}

Comme Z_5=Z_4 :

 \frac{\Gamma_4}{\Gamma_3}=\frac{\Gamma_5}{\Gamma_3}

Nous obtenons finalement:

 \Gamma_4=\Gamma_5

Puissance

La puissance d’entrée doit être égale à la puissance de sortie:

 P_{in}=P_{out}

Comme P=\Gamma.\omega, le couple de sortie peut être réécrit sous la forme suivante:

 P_{out}=P_4+P_5=\Gamma_4.\omega_4+\Gamma_5.\omega_5

Comme \Gamma_4=\Gamma_5, l’équation précédente peut être simplifiée:

 P_{out}=\Gamma_4.(\omega_4+\omega_5)

Comme \omega_4+\omega_5=2.\omega_2, l’équation peut être reformulée:

 P_{out}=\Gamma_4.(2.\omega_2)=\Gamma_2\omega_2=P_{in}

Nous obtenons finalement:

 2.\Gamma_4=\Gamma_2

Conclusion

La relation entre les vitesses est donnée par:

 \omega_2 = \frac{1}{2}(\omega_4+\omega_5)

La relation entre les couples est donnée par:

 \frac{\Gamma_2}{2} = \Gamma_4=\Gamma_5

2 réflexions au sujet de « Modèle d’un différentiel mécanique »

  1. Il me semblait que la relation sur les engrenages est w1*z1=w2*z2 et pas comme tu l’écris w1/z1=w2/z2. la relation sur les couples est bien C1/z1=C2/z2.

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