Introduction
Un pendule simple est constitué d’un poids suspendu par un câble non déformable.
Dans cet article, nous considérerons les hypothèses suivantes:
Mise en équation du système
Pour trouver l’équation régissant le système, nous allons appliquer le principe fondamentale de la dynamique:
Les forces agissant sur le système sont la force de gravité
et la force de tension du câble
. La trajectoire de la masse décrit nécessairement un arc de cercle. L’accélération élémentaire du corps est nécessairement tangente à cette trajectoire. La force de tension du câble est donc perpendiculaire à la trajectoire de la masse. Sa projection le long de l’axe de déplacement est nulle. Une seule force devra être considérée dans la suite des calculs : la force de gravité:
La relation entre la vitesse linéaire et angulaire du corps est donnée par :
En dérivant cet équation, nous obtenons:
L’équation obtenue avec le principe fondamental de la dynamique peut être mise à jour:
En divisant par
:
Nous pouvons ainsi obtenir l’équation différentielle régissant le système:
Résolution
L’équation différentielle obtenue est non linéaire. Il est possible de linéariser cette équation pour de petites valeurs de
en approximant
par
. L’équation devient linéaire:
La solution générale à l’équation différentielle linéarisée est:
avec
Etant donné les conditions initiales
(angle initial du pendule), et en considérant que la vitesse initiale est nulle, nous pouvons écrire:
Le système peut être résolu:
La solution générale du système devient:
Où
. La période d’oscillation est donnée par
.
Remerciement
Je tiens à remercier Jean-Pierre Pecqueur de l’Université d’Angers pour son aide.