Pendule simple

Introduction


Un pendule simple est constitué d’un poids suspendu par un câble non déformable.

PenduleumOverview

Dans cet article, nous considérerons les hypothèses suivantes:


  • Le poids peut se balancer librement.

  • L est la longueur du câble.

  • m est la masse du corps du pendule.

  • La masse du câble est négligée.

  • Les frottements sont négligés.

  • Mise en équation du système

    Pour trouver l’équation régissant le système, nous allons appliquer le principe fondamentale de la dynamique:

     m.\vec{a} = \sum{\vec{F}}

    Les forces agissant sur le système sont la force de gravité \vec{F_g} et la force de tension du câble \vec{T}. La trajectoire de la masse décrit nécessairement un arc de cercle. L’accélération élémentaire du corps est nécessairement tangente à cette trajectoire. La force de tension du câble est donc perpendiculaire à la trajectoire de la masse. Sa projection le long de l’axe de déplacement est nulle. Une seule force devra être considérée dans la suite des calculs : la force de gravité:

     m.a = \vec{F_m} = m.g.sin(\Theta)

    La relation entre la vitesse linéaire et angulaire du corps est donnée par :

     v=L\frac{d \Theta }{dt}

    En dérivant cet équation, nous obtenons:

     a=\frac{dv}{dt}=L. \frac{d^2 \Theta }{dt^2}

    L’équation obtenue avec le principe fondamental de la dynamique peut être mise à jour:

     m.L. \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = m.g.sin(\Theta)

    En divisant par m:

     L. \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = g.sin(\Theta)

    Nous pouvons ainsi obtenir l’équation différentielle régissant le système:

     \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = \frac{g}{L}.sin(\Theta)

    Résolution

    L’équation différentielle obtenue est non linéaire. Il est possible de linéariser cette équation pour de petites valeurs de \Theta en approximant sin(\Theta) par \Theta. L’équation devient linéaire:

     \frac{d^2 \Theta }{dt^2} = \frac{g}{L}.\Theta

    La solution générale à l’équation différentielle linéarisée est:

     \Theta = A.cos(\omega.t + \phi)

    avec
     \omega^2=\frac{g}{L}

    Etant donné les conditions initiales \Theta=\Theta_0 (angle initial du pendule), et en considérant que la vitesse initiale est nulle, nous pouvons écrire:

    A.cos(\phi)=\Theta_0
    -A.\omega.sin(\phi)=0

    Le système peut être résolu:

    A=\Theta_0
    \phi=0

    La solution générale du système devient:

     \Theta(t)=\Theta_0.cos(\omega.t)

    \omega = \sqrt { \frac {g}{L} }. La période d’oscillation est donnée par T=2.\pi.\sqrt { \frac {g}{L}}.

    Remerciement

    Je tiens à remercier Jean-Pierre Pecqueur de l’Université d’Angers pour son aide.

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