Transmission par bielles

Cet article expose la mise en équation d’une transmission par bielle. Nous considérerons le modèle suivant:

Cinématique

Cette partie démontre la relation qui relie les angles des axes: $\Theta_2=f(\Theta_1)$ .

L’angle $\Theta_2$ va être calculé avec le relation suivante:

$\Theta_2=\pi- \widehat{P_2MP_1} -\widehat{P_1MO}$

Commençons par calculer les coordonnées de $P_1$ :

$P_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1.cos(\Theta_1) \\ l_1.sin(\Theta_1) \end{pmatrix}$

En se basant sur le résultat précédent, calculons la distance entre $P_1$ et $M$ :

$\| P_1M \| = \sqrt{ (x_1-X)^2 + y_1^2 }$

Dans le triangle $HP_1M$ , rectangle en $H$ , il devient aisé de calculer l’angle $\widehat{P_1MO}$ :

$\widehat{P_1MO}=atan2(\|HP_1\|,\|MH\|)=atan2(y_1,X-x_1)$

Maintenant nous pouvons calculer l’angle $\widehat{P_2MP_1}$ dans le triangle $P_1MP_2$ grâce au théorème d’Al Kashi

$\|P_1P_2\| = \|MP_1\|^2 + \|MP_2\|^2 -2.\|MP_1\|.\|MP_2\|.cos(\widehat{P_2MP_1})$

$L = \|MP_1\|^2 + {l_2}^2 -2.\|MP_1\|.l_2.cos(\widehat{P_2MP_1})$

et finalement:

$cos(\widehat{P_2MP_1}) = \frac{\|MP_1\|^2 + {l_2}^2 - L} {2.\|MP_1\|.l_2}$

En conclusion:

$\Theta_2=\pi \pm acos\left(\frac{ (x_1-X)^2 + y_1^2 + {l_2}^2 - L} {2.l_2.\sqrt{ (x_1-X)^2 + y_1^2 }} \right) - atan2(y_1,X-x_1)$

où:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1.cos(\Theta_1) \\ l_1.sin(\Theta_1) \end{pmatrix}$

Couple

Cette seconde partie expose comment calculer le couple transmis. Supposons le l’axe moteur soit celui de gauche (centré en $O$ ). Le couple fourni sur cet axe est $T_1$ . L’objectif est de calculer le couple transmis ( $T_2$ ) sur le second axe (centré en $M$ ). Le but de cette seconde partie est d’exprimer $T_2=g(T_1)$ .

Commençons par calculer les coordonnées de $P_2$ :

$P_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X+l_2.cos(\Theta_1) \\ l_2.sin(\Theta_1) \end{pmatrix}$

Calculons l’amplitude de la force $\vec{F_1}$ :

$\| \vec{F_1}\| = \frac{T_1}{l_1}$

Maintenant, calculons l’angle $\alpha$ entre $\vec{F_1}$ et $\vec{F_b}$ :

$\alpha = ( \widehat{ \vec{F_1} ; \vec{F_b} } )= ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_1} } ) - ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_2} } ) = ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_1} } ) -( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{P_1P_2} } )$

Calculons les angles:

$( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_1} } ) = \Theta_1 - \frac{\pi}{2}$

et :

$( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{P_1P_2} } ) = atan2(y_2-y_1,x_2-x_1)$

Maintenant $\alpha$ peut être calculé:

$\alpha = \Theta_1 - \frac{\pi}{2} - atan2(y_2-y_1,x_2-x_1) = \Theta_1 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)$
et $F_b$ peut aussi être calculé:

$\| \vec{F_b} \| = \| \vec{F_1} \|.cos(\alpha)$

Comme nous l’avons fait pour $\alpha$ , calculons l’angle $\beta$ entre $\vec{F_b}$ et $\vec{F_2}$ :

$\beta = ( \widehat{ \vec{F_2} ; \vec{F_b} } )= \Theta_2 - \frac{\pi}{2} - atan2(y_2-y_1,x_2-x_1) = \Theta_2 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)$

La force $F_2$ peut aussi être calculée:

$\| \vec{F_2} \| = \| \vec{F_b} \|.cos(\beta)$

Le couple de sortie est :

$T_2=\| \vec{F_2} \|.l_2$

En conclusion:

$T_2= \frac{l_2}{l_1}. T_1.cos(\beta).cos(\alpha)$

où:

$\alpha = \Theta_1 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)$

$\beta = \Theta_2 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)$

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Matlab [Connecting rod]

Robotics, Teaching & Learning

Philippe Lucidarme

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