Transmission par bielles

Cet article expose la mise en équation d’une transmission par bielle. Nous considérerons le modèle suivant:

Drawing

Cinématique

Cette partie démontre la relation qui relie les angles des axes: \Theta_2=f(\Theta_1).

DrawingKinematic

L’angle \Theta_2 va être calculé avec le relation suivante:

 \Theta_2=\pi- \widehat{P_2MP_1} -\widehat{P_1MO}

Commençons par calculer les coordonnées de P_1:

 P_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1.cos(\Theta_1) \\ l_1.sin(\Theta_1) \end{pmatrix}

En se basant sur le résultat précédent, calculons la distance entre P_1 et M:

 \| P_1M \| = \sqrt{ (x_1-X)^2 + y_1^2 }

Dans le triangle HP_1M, rectangle en H, il devient aisé de calculer l’angle \widehat{P_1MO}:

 \widehat{P_1MO}=atan2(\|HP_1\|,\|MH\|)=atan2(y_1,X-x_1)

Maintenant nous pouvons calculer l’angle \widehat{P_2MP_1} dans le triangle P_1MP_2 grâce au théorème d’Al Kashi

 \|P_1P_2\| = \|MP_1\|^2 + \|MP_2\|^2 -2.\|MP_1\|.\|MP_2\|.cos(\widehat{P_2MP_1})

 L = \|MP_1\|^2 + {l_2}^2 -2.\|MP_1\|.l_2.cos(\widehat{P_2MP_1})

et finalement:

 cos(\widehat{P_2MP_1}) = \frac{\|MP_1\|^2 + {l_2}^2 - L} {2.\|MP_1\|.l_2}

En conclusion:

 \Theta_2=\pi \pm acos\left(\frac{ (x_1-X)^2 + y_1^2  + {l_2}^2 - L} {2.l_2.\sqrt{ (x_1-X)^2 + y_1^2 }} \right) - atan2(y_1,X-x_1)

où:

 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_1.cos(\Theta_1) \\ l_1.sin(\Theta_1) \end{pmatrix}

Couple

Cette seconde partie expose comment calculer le couple transmis. Supposons le l’axe moteur soit celui de gauche (centré en O). Le couple fourni sur cet axe est T_1. L’objectif est de calculer le couple transmis (T_2) sur le second axe (centré en M). Le but de cette seconde partie est d’exprimer T_2=g(T_1).

DrawingTorque

Commençons par calculer les coordonnées de P_2:

 P_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X+l_2.cos(\Theta_1) \\ l_2.sin(\Theta_1) \end{pmatrix}

Calculons l’amplitude de la force \vec{F_1}:

 \| \vec{F_1}\| = \frac{T_1}{l_1}

Maintenant, calculons l’angle \alpha entre \vec{F_1} et \vec{F_b}:

 \alpha = ( \widehat{ \vec{F_1} ; \vec{F_b} } )= ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_1} } ) - ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_2} } ) = ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_1} } ) -( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{P_1P_2} } )

Calculons les angles:

 ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{F_1} } ) = \Theta_1 - \frac{\pi}{2}

et :

 ( \widehat{ \vec{OM} ; \vec{P_1P_2} } ) = atan2(y_2-y_1,x_2-x_1)

Maintenant \alpha peut être calculé:

 \alpha = \Theta_1 - \frac{\pi}{2} - atan2(y_2-y_1,x_2-x_1)  = \Theta_1 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)

et F_b peut aussi être calculé:

 \| \vec{F_b} \| = \| \vec{F_1} \|.cos(\alpha)

Comme nous l’avons fait pour \alpha, calculons l’angle \beta entre \vec{F_b} et \vec{F_2}:

 \beta = ( \widehat{ \vec{F_2} ; \vec{F_b} } )= \Theta_2 - \frac{\pi}{2} - atan2(y_2-y_1,x_2-x_1)  =  \Theta_2 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)

La force F_2 peut aussi être calculée:

 \| \vec{F_2} \| = \| \vec{F_b} \|.cos(\beta)

Le couple de sortie est :

 T_2=\| \vec{F_2} \|.l_2

En conclusion:

 T_2= \frac{l_2}{l_1}. T_1.cos(\beta).cos(\alpha)

où:

 \alpha = \Theta_1 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)

et

 \beta =  \Theta_2 - atan2(x_2-x_1,y_1-y_2)

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